Grundlagen der Geometrie

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Es wird gezeigt, dass das Axiom die Definition einer multiplikativen Untergruppe des Körpers der Inzidenzebene darstellt. Ein Punkt liegt nicht zwischen zwei anderen kollinearen Punkten, wenn das Doppelverhältnis ein Element der Untergruppe ist. Umgekehrt erfüllt das Axiomensystem die Bedingungen einer beliebigen multiplikativen Untergruppe. Ein vollständiges Axiomensystem der Anordnung wird erreicht, wenn durch ein zusätzliches Axiom die größte eigentliche Untergruppe, wie die mit Index 2 bei ungerader Charakteristik, ausgewählt wird. Im Abschnitt 2.5 wird gezeigt, dass das schärfere Paschsche Axiom genau diese Untergruppe mit Index 2 auswählt. Kapitel 3 behandelt die Kongruenzrelation (eine euklidische Metrik), die durch die gleichen Axiome wie im ersten Teil des Buches, jedoch ohne die Annahme über die Beschränktheit der Eichkurve, zur vollständigen Inzidenzebene des ersten Kapitels hinzugefügt wird. In Teil 3.3 wird bewiesen, dass dieses Axiomensystem für Ebenen mit ungerader Charakteristik vollständig ist, wobei Axiom 3.2 etwas schwächer formuliert werden muss, um die Existenz von zwei inkommensurablen Eichkurven zuzulassen. Der wesentliche Teil des Beweises ist das Theorem 3.7 von Segre.