Grundzüge der Algebra

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Algebra ist eine der tragenden Säulen der Schulmathematik. In diesem Band haben wir eine Auswahl aus der klassischen Algebra und der elementaren Zahlentheorie getroffen, die für Mathematiklehrer am Gymnasium sinnvoll ist. Zu Beginn stehen das Zahlenrechnen und die Lösung einfacher Gleichungen im Vordergrund. Nach einer kurzen Darstellung der wichtigsten algebraischen Grundbegriffe bieten wir einen umfassenden Überblick über den Aufbau des Zahlsystems. Dabei heben wir die Zahlbereichserweiterungen als Spezialfall allgemeiner algebraischer Konstruktionen hervor. Wir zeigen die Gemeinsamkeiten bei der Konstruktion der ganzen und rationalen Zahlen und gewinnen die reellen und komplexen Zahlen durch die Prozesse der Vervollständigung angeordneter Körper bzw. der Adjunktion von Nullstellen. Bei den Ausführungen über Gruppen legen wir besonderen Wert auf Beispiele endlicher Gruppen: Permutationsgruppen, Gruppen kleiner Ordnung und endliche Bewegungsgruppen der Ebene. Ein zentraler Aspekt ist die ausführliche Behandlung der Teilbarkeitslehre. Neben Anwendungen bei ganzen Zahlen und Polynomen betrachten wir exemplarisch die Zahlentheorie des Rings der ganzen Gaußschen Zahlen und zeigen, wie zahlentheoretische Aussagen über diesen Ring in Aussagen über Quadratsummen natürlicher Zahlen übersetzt werden können.